# Plano do curso > **Estado:** ✅ fases 1 a 8 concluídas — as **30 aulas** da trilha e as **10 eletivas** estão > publicadas, com as peças novas da metodologia. Próxima etapa: a fase 9, **testes unitários em todas > as aulas** ([veja o plano](#fase-9--testes-unitários-em-todas-as-aulas)). A coluna **Estado** das > tabelas registra de onde cada aula veio na [migração](#migração-das-18-aulas-publicadas). ## Objetivo Ensinar **toda a matemática da escola até a faculdade** — do "sei somar, subtrair, multiplicar e dividir" até cálculo, álgebra linear, probabilidade, equações diferenciais e o jeito de pensar de quem pesquisa matemática — **sem pular nenhum degrau e sem decorar nada**. O curso segue a **ordem da escola** (Ensino Fundamental → Ensino Médio → Faculdade), porque é a ordem em que os conceitos de fato dependem uns dos outros, e porque o aluno se reconhece nela. Os **nomes dos níveis** vêm da trilha de referência — **Básico, Intermediário, Avançado, Especialista e Pesquisador** —, e a etapa da escola aparece ao lado de cada um como referência. O que muda é o **jeito de ensinar**: em vez de lista de fórmulas, cada ideia chega por um desenho que se mexe, uma história e um exercício que explica o erro — a metodologia da série *Head First*, da O'Reilly. Três regras valem para as 30 aulas: 1. **Nada é usado antes de ser apresentado** — nem entre níveis. Cada aula abre com "Você já sabe" listando de onde vem cada peça. 2. **O desenho vem antes da fórmula.** Primeiro o aluno vê a coisa acontecer num laboratório, depois escreve. 3. **Reencontros, não assuntos soltos.** Cada ideia nova é apresentada como uma ideia antiga vista de outro jeito (a PA é a reta de passo em passo, a correlação é um cosseno, o número complexo é um giro). --- ## Visão geral | Nível | Etapa da escola | Aulas | Ao terminar, o aluno consegue... | |---|---|---|---| | **1 — Básico** | Fundamental I e II | 1–6 | fazer conta com qualquer tipo de número (inteiro, negativo, fração, decimal, porcentagem, potência) e resumir uma lista de dados | | **2 — Intermediário** | Fundamental II | 7–12 | trocar número por letra, resolver equações e sistemas, desenhar retas e medir figuras no plano e no espaço | | **3 — Avançado** | Ensino Médio | 13–18 | entender o comportamento das funções clássicas (quadrática, exponencial, trigonométricas), usar vetores e matrizes e girar com números complexos | | **4 — Especialista** | Faculdade: cálculo e dados | 19–24 | derivar, integrar, medir incerteza com a curva normal e extrair padrões de dados (correlação, regressão, Fourier) | | **5 — Pesquisador** | Faculdade: matemática aplicada e computacional | 25–30 | modelar sistemas que mudam no tempo, otimizar, trabalhar com acaso ao longo do tempo e demonstrar um resultado | | **Eletivas** | Aprofundamento | 31–40 | seguir para áreas específicas: criptografia, grafos, grupos, topologia, curvatura, séries, EDPs, fractais, cálculo estocástico e métodos numéricos | Nas tabelas abaixo, o **Estado** registra de onde veio cada aula (todas já publicadas): - ✅ **mantida** — já existia; mudou só de número e de referências. - ♻️ **adaptada** — já existia; foi dividida, ampliada ou juntada com outra. - 🆕 **nova** — escrita do zero na reestruturação. --- ## Metodologia: a anatomia de toda aula Inspirada na série *Head First*: o cérebro presta atenção no que é visual, conversado, surpreendente e feito com as próprias mãos. Toda aula, em todos os níveis, tem: | Peça | Para quê | Obrigatório | |---|---|---| | **Cabeçalho** com "AULA N de 30 · NÍVEL X" e o quadro **Você já sabe** | Mostra de onde vem cada peça usada na aula | sim | | **Gancho** — um problema ou uma história do mundo real | Dar um motivo antes da teoria | sim | | **6 laboratórios** 🔧 | Sliders, botões e arrastar: a ideia entra pelas mãos | sim, exatamente 6 | | **O Guru** 🧘 | Uma frase que arruma a cabeça no momento certo | sim, ao menos 1 | | **Não existe pergunta idiota** 💬 | As dúvidas que todo mundo tem, respondidas antes | sim, ao menos 1 | | **Cuidado** ⚠️ | A armadilha clássica, marcada antes da queda | sim, ao menos 1 | | **Pontos importantes** 📌 | O resumo da aula em uma tela | sim | | **Afie o lápis** ✏️ | 6 exercícios; errou → explica o porquê; acertou → selo; um deles é o desafio 🏆 | sim, exatamente 6 | | **Placar** e progresso salvo | Motivação e retomada | sim | | **notas.md** e **figuras.png** | O mesmo conteúdo para ler, imprimir ou colar num caderno | sim | Peças que entraram na reestruturação: | Peça | Para quê | Onde | |---|---|---| | **🧠 Poder do cérebro** | Uma pergunta aberta *antes* da explicação: o aluno pensa primeiro | todas as 30 aulas | | **Por que é verdade?** | Uma mini-demonstração visual (sem formalismo) de um fato da aula | nas aulas com uma demonstração-chave: 8, 11, 12, 14, 27, 28, 29 e 30 | | **Conversa ao pé da lareira** | Diálogo entre dois conceitos que se confundem | uma por nível (lista abaixo) | | **Quem faz o quê?** | Exercício de ligar colunas (novo tipo de exercício no motor das aulas) | todas as aulas a partir do Nível 2, e as 1, 2, 3 e 5 | **Conversas ao pé da lareira** (uma por nível): Média × Mediana (N1) · Equação × Função (N2) · Seno × Cosseno (N3) · Derivada × Integral (N4) · Determinístico × Aleatório (N5). **Critério de qualidade** de cada aula, antes de publicar: 1. `tests/verifica.js` verde: 6 laboratórios, 6 exercícios, controles nos extremos sem `NaN`, erro nunca pontua e gabarito sempre é aceito, nenhum erro de JavaScript, nada rolando para o lado a 375 px, links válidos. 2. Toda conta citada no texto e nas notas foi conferida numericamente. 3. Nenhuma peça é usada antes de ser apresentada (conferir contra a tabela de pré-requisitos). 4. Nenhum laboratório dá "acertou" sozinho ao carregar a página. --- ## Nível 1 — Básico *Ensino Fundamental I e II · trilha: frações e decimais, múltiplos e divisores, potências e raízes, proporcionalidade.* O aluno sai daqui fazendo conta com **qualquer tipo de número** e resumindo uma lista de dados. É o chão de todo o resto: porcentagem, frações e negativos aparecem em todas as aulas seguintes. | # | Aula | Estado | Vem de | |---|---|---|---| | 1 | Múltiplos, divisores e primos | 🆕 | — | | 2 | Pedaços e sinais: frações, decimais e negativos | 🆕 | — | | 3 | Porcentagem, razão e regra de três | 🆕 | — | | 4 | Potências e raízes | ♻️ | atual Aula 9 (seções 1, 2 e 6) | | 5 | Dados: média, mediana, moda e desvio | ♻️ | atual Aula 10 (seção 1) + novo | | 6 | Contagem e chance | ♻️ | atual Aula 17 (seções 1–3) + novo | ### Aula 1 — Múltiplos, divisores e primos 🆕 **O obstáculo:** somar frações, simplificar e dividir coisas em partes iguais dependem de saber "quem cabe dentro de quem" — e isso nunca é mostrado, só decorado. - Múltiplos: pular de 3 em 3 na reta; divisores: quem divide sem sobrar - Números primos: os que só se dividem por 1 e por eles mesmos; o crivo de Eratóstenes - Todo número é um produto de primos (a "receita" do número) - MMC: quando duas engrenagens voltam à posição inicial juntas - MDC: o maior ladrilho quadrado que cobre um retângulo sem cortar **Laboratórios:** pulos na reta · caixas de bombons · o crivo de Eratóstenes · a árvore de fatores · engrenagens (MMC) · ladrilhos (MDC) ### Aula 2 — Pedaços e sinais: frações, decimais e negativos 🆕 **O obstáculo:** meio, terço, 0,25, −3 °C — todos são "números", mas cada um parece ter suas próprias regras. - Fração como pedaço: pizza e barra de chocolate; frações equivalentes - Somar frações: deixar os pedaços do mesmo tamanho (reencontro com o MMC da Aula 1) - Decimais: a fração de 10, 100, 1000 — a vírgula na régua - A reta numerada inteira: negativos à esquerda do zero (termômetro, saldo no banco) - Somar e multiplicar com sinais: andar para trás; menos vezes menos dá mais **Laboratórios:** a pizza fatiada · frações equivalentes · soma de pedaços · a régua dos decimais · o termômetro · o saldo que entra e sai ### Aula 3 — Porcentagem, razão e regra de três 🆕 **O obstáculo:** desconto, juros, receita de bolo e mapa são a mesma conta, mas parecem quatro assuntos. - Razão: comparar por divisão (2 xícaras de farinha para 1 de açúcar) - Proporção: duas razões iguais; a receita que dobra - Porcentagem: "por cem" — a fração de denominador 100 - Aumentos e descontos em sequência (e por que 10% de aumento seguido de 10% de desconto não volta ao preço original) - Regra de três simples e composta; grandezas diretas e inversas **Laboratórios:** a receita que dobra · a barra de porcentagem · desconto × aumento · a escala do mapa · regra de três ao vivo · direta ou inversa? ### Aula 4 — Potências e raízes ♻️ **O obstáculo:** "ao quadrado" e "raiz" parecem símbolos soltos; são um quadrado de verdade e o lado dele. - Ao quadrado é, literalmente, um quadrado; ao cubo é um cubo (volume) - A raiz quadrada como caminho de volta; a raiz cúbica - Nem toda raiz é inteira (√2 ≈ 1,41) - Quadrado nunca é negativo (reencontro com os sinais da Aula 2) - Notação científica: potências de 10 para números enormes e minúsculos **Laboratórios:** o quadrado cresce · ache o lado · o cubo cresce · ache a aresta · quadrado nunca é negativo · a régua das potências de 10 ### Aula 5 — Dados: média, mediana, moda e desvio ♻️ **O obstáculo:** uma lista de números não diz nada até ser resumida — e cada resumo esconde algo. - Média como ponto de equilíbrio (a gangorra) - Mediana: o do meio; moda: o que mais aparece; quando cada uma engana (salários) - Gráficos de barras e histogramas - Desvio: o quanto a lista se espalha (usa quadrado e raiz da Aula 4) - **Conversa ao pé da lareira:** Média × Mediana **Laboratórios:** a gangorra da média · o do meio · o salário do chefe · monte o histograma · centralize a lista · espalhado ou apertado? ### Aula 6 — Contagem e chance ♻️ **O obstáculo:** o acaso parece não ter regra, e contar possibilidades parece exigir fórmulas decoradas. - Contar com árvores de possibilidades (princípio multiplicativo) - Permutações e arranjos: de quantos jeitos dá para ordenar ou escolher em ordem; o fatorial - Probabilidade como fração dos casos (reencontro com as Aulas 2 e 3) - Repetir muitas vezes: a frequência se aproxima da probabilidade - A moeda não tem memória (falácia do apostador) **Laboratórios:** a árvore de roupas · ordenar a fila · duas moedas, quatro casos · a moeda repetida · o dado viciado? · a média que gruda --- ## Nível 2 — Intermediário *Ensino Fundamental II · trilha: expressões algébricas, equações e inequações, sistemas lineares, geometria plana.* O aluno troca número por letra, resolve equações e sistemas, desenha retas e mede figuras. Aqui começam as peças **Por que é verdade?** e **Quem faz o quê?**. | # | Aula | Estado | Vem de | |---|---|---|---| | 7 | Letras no lugar de números: a função | ♻️ | atual Aula 1 + expressões algébricas | | 8 | Equações e inequações: a balança | ♻️ | atual Aula 7 + inequações + abrir parênteses (da atual 13) | | 9 | O plano e a reta | ✅ | atual Aula 2 | | 10 | Sistemas de equações | ✅ | atual Aula 8 | | 11 | Ângulos, círculo e π | ♻️ | atual Aula 3 + perímetro, área do círculo e π (da atual 15) | | 12 | Áreas, volumes e Pitágoras | ♻️ | atual Aula 9 (seção 3) + áreas de figuras + volumes | ### Aula 7 — Letras no lugar de números: a função ♻️ **O obstáculo:** o `x` e o `f(x)` assustam mais do que a ideia por trás deles. - A máquina: entra um número, sai outro; o `x` é um espaço esperando ser preenchido - Expressões algébricas: `3x + 2` como receita; juntar termos parecidos - Máquinas de dois passos e a ordem das contas - A regra de ouro: mesma entrada → sempre a mesma saída - Cada teste vira um ponto; todos juntos formam o gráfico - **Conversa ao pé da lareira:** Equação × Função **Laboratórios:** mexa na máquina · a fórmula clicável · troque o x por um número · a ordem das contas · confiável ou quebrada? · veja o gráfico nascer ### Aula 8 — Equações e inequações: a balança ♻️ **O obstáculo:** descobrir o número escondido parece chute. - A balança: o que fizer de um lado, faça do outro - Isolar o x passo a passo; conferir é de graça - Abrir parênteses: cada pedaço vezes cada pedaço, pela área do retângulo - Inequações: a balança que pende para um lado; o sinal que vira quando se multiplica por negativo - **Por que é verdade?** Por que multiplicar por −1 vira o sinal da desigualdade (reta numerada) **Laboratórios:** a balança em equilíbrio · a máquina ao contrário · x dos dois lados, passo a passo · abra os parênteses · a balança que pende · o sinal que vira ### Aula 9 — O plano e a reta ✅ Atual Aula 2, sem mudança de conteúdo: as duas réguas, o endereço de um ponto, os quatro quadrantes, o passo da escada e a receita `y = ax + b`. Na migração ganha um reencontro: **a sequência de passo fixo (PA) é a reta vista de degrau em degrau**, preparando a Aula 14. ### Aula 10 — Sistemas de equações ✅ Atual Aula 8, sem mudança de conteúdo: resolver = achar onde duas retas se cruzam; um, nenhum ou infinitos cruzamentos; substituição. ### Aula 11 — Ângulos, círculo e π ♻️ **O obstáculo:** grau, volta e π parecem convenções arbitrárias. - O que é girar; a volta de 360°; sentido anti-horário e ângulos negativos (reencontro com a reta numerada) - Onde o ponto para depois de girar - **O comprimento da volta:** enrolar uma linha no círculo → `2π · raio`, com π ≈ 3,14 - **A área do círculo:** fatiar em gomos e rearrumar num quase-retângulo → `π · raio²` - **Por que é verdade?** A área do círculo pelos gomos **Laboratórios:** o ponteiro que gira · o relógio de ângulos · ângulos negativos e voltas extras · o transferidor interativo · desenrole o círculo · os gomos viram retângulo ### Aula 12 — Áreas, volumes e Pitágoras ♻️ **O obstáculo:** cada figura parece ter sua fórmula decorada; são todas "retângulo arrumado". - Área do retângulo, do triângulo (metade do retângulo), do paralelogramo e do trapézio - Pitágoras: três quadrados num triângulo retângulo - **Por que é verdade?** Pitágoras rearrumando quatro triângulos - Volume: área da base × altura (prisma, cilindro); cubo e esfera - Perímetro × área: a mesma cerca, áreas diferentes **Laboratórios:** o triângulo é meio retângulo · o paralelogramo que vira retângulo · Pitágoras com quadrados · a prova dos quatro triângulos · empilhe a base · a lata de refrigerante --- ## Nível 3 — Avançado *Ensino Médio · trilha: sequências (PA e PG), matemática financeira, funções, trigonometria, exponenciais e logaritmos, polinômios e complexos, geometria analítica, matemática discreta.* O aluno passa a estudar o **comportamento** das funções clássicas e ganha as ferramentas de geometria que o cálculo vai precisar. | # | Aula | Estado | Vem de | |---|---|---|---| | 13 | Curvas que não são retas: a parábola | ♻️ | atual Aula 13 (abrir parênteses vai para a 8) | | 14 | Crescimento que acelera: PA, PG, juros, exponenciais e logaritmos | ♻️ | atual Aula 14 + PA/PG + juros simples | | 15 | Trigonometria: seno, cosseno, tangente e radianos | ♻️ | atual Aula 4 + tangente + radianos (da atual 15) | | 16 | Ondas | ✅ | atual Aula 5 | | 17 | Vetores e matrizes | ♻️ | atual Aula 6 + tamanho da seta (da atual 9) + distância e circunferência | | 18 | Números complexos | ♻️ | atual Aula 18 (as ondas como giros vão para a 24) | ### Aula 13 — Curvas que não são retas: a parábola ♻️ Atual Aula 13. Na migração, as transformações `a(x − h)² + k` passam a ser apresentadas **aqui pela primeira vez** (reencontrando a reta da Aula 9 e a máquina da Aula 7); a Aula 16 (ondas) é que passa a reencontrá-las. Zeros pela balança com a raiz de dois lados, Bhaskara como "arrumar e passar para o outro lado", o vértice como melhor valor, polinômios e o teste das diferenças. **Laboratórios:** a máquina que dobra · três sliders da parábola · ache onde ela cruza o zero · caça ao vértice · somador de potências · reta ou curva? ### Aula 14 — Crescimento que acelera ♻️ **O obstáculo:** crescer somando e crescer multiplicando parecem parecidos no começo. - PA: somar sempre o mesmo — a reta da Aula 9 de degrau em degrau; a soma de Gauss - PG: multiplicar sempre pelo mesmo — a dobra do papel - Juros simples (PA) × juros compostos (PG) (reencontro com a porcentagem da Aula 3) - A escada das potências: expoente zero, negativo e fracionário; o chapeuzinho `^` - O logaritmo: "quantas vezes multipliquei?"; a régua logarítmica - O número e: `(1 + 1/n)ⁿ` **Laboratórios:** corrida soma × multiplicação · a dobra do papel · a escada das potências · quantas dobras? (o logaritmo) · a régua logarítmica · de onde vem o e ### Aula 15 — Trigonometria: seno, cosseno, tangente e radianos ♻️ **O obstáculo:** seno e cosseno parecem fórmulas decoradas de triângulo. - A altura e a sombra de um ponto girando (reencontro com a Aula 11) - No triângulo retângulo: cateto oposto, adjacente e hipotenusa (reencontro com a Aula 12) - Tangente: a altura dividida pela sombra — a inclinação da reta (reencontro com a Aula 9) - `cos² + sen² = 1` (Pitágoras no círculo) - Radianos: o ângulo medido pelo arco (reencontro com o π da Aula 11) - **Conversa ao pé da lareira:** Seno × Cosseno **Laboratórios:** o círculo com a sombra e a altura ao vivo · a tabela que se preenche sozinha · simetria do círculo · o triângulo retângulo · o círculo de raio 1 · radianos, o ângulo medido pelo arco ### Aula 16 — Ondas ✅ Atual Aula 5: desenrolar o círculo, amplitude, frequência e fase, somar ondas. Na migração, o reencontro das transformações aponta para a parábola (Aula 13) e os ângulos podem aparecer também em radianos (Aula 15). ### Aula 17 — Vetores e matrizes ♻️ **O obstáculo:** "álgebra linear" soa abstrato; é só seta e tabela que move seta. - Vetor é uma seta; somar setas; esticar uma seta - O tamanho de uma seta: `√(x² + y²)` (reencontro com Pitágoras da Aula 12) - Distância entre dois pontos e a equação da circunferência (geometria analítica) - Produto escalar: o quanto duas setas apontam juntas (reencontro com o cosseno da Aula 15) - Matriz é uma tabela que transforma setas: esticar, espelhar, girar - Sistema de equações como uma matriz (reencontro com a Aula 10) **Laboratórios:** somador de setas arrastável · o tamanho da seta e a distância · multiplicar por um número · produto escalar ao vivo · gire a figura com uma matriz · o sistema como matriz ### Aula 18 — Números complexos ♻️ Atual Aula 18: `i` como giro de 90°, o plano complexo, multiplicar = girar e esticar, potências e a fórmula de Euler por `(1 + iθ/n)ⁿ`. Na migração, a seção "ondas como giros" (que depende de Fourier) vai para a Aula 24; no lugar entra **resolver equações do 2º grau sem solução real** (pendência da Aula 13) — o laboratório "as raízes que faltavam". **Laboratórios:** multiplique por i · o plano complexo · girar e esticar · potências de um número complexo · o ponto de Euler · as raízes que faltavam --- ## Nível 4 — Especialista: Cálculo e Dados *Faculdade · trilha: limites e continuidade, cálculo diferencial, cálculo integral; estatística e análise de sinais.* A matemática do movimento, da variação contínua e da extração de padrões em dados. | # | Aula | Estado | Vem de | |---|---|---|---| | 19 | Limites e a derivada | ♻️ | atual Aula 15 (radianos vão para a 15) + limites e continuidade | | 20 | A integral | ♻️ | atual Aula 16 + volumes por fatias | | 21 | A curva normal | ♻️ | atual Aula 17 (seções 4–6) + combinações e o triângulo de Pascal | | 22 | Correlação: estatística com vetores | ♻️ | atual Aula 10 (seções 2–4) | | 23 | Projeção e mínimos quadrados | ✅ | atual Aula 11 | | 24 | Decomposição de sinais: Fourier | ♻️ | atual Aula 12 + ondas como giros (da atual 18) | ### Aula 19 — Limites e a derivada ♻️ - Chegar cada vez mais perto: o limite (a lupa e os dois pontos que se aproximam) - Continuidade: curva sem saltos; onde a derivada não existe (bicos) - A reta tangente e a inclinação em cada ponto - A derivada como máquina: `x² → 2x`, `x³ → 3x²`, `eˣ → eˣ`, `sen → cos` (em radianos, Aula 15) - Topos e fundos: candidatos em `f′(x) = 0`, conferidos pela troca de sinal - **Conversa ao pé da lareira:** Derivada × Integral (fecha na Aula 20) **Laboratórios:** a lupa que endireita a curva · a reta que encosta · dois pontos se aproximando · o gráfico da inclinação · saltos e bicos · caça ao topo ### Aula 20 — A integral ♻️ Atual Aula 16: fatias, somas por baixo e por cima, velocidade → distância, o acumulado e o Teorema Fundamental. Ganha **volumes por fatias** (o sólido de revolução como pilha de moedas, reencontro com o volume da Aula 12). **Laboratórios:** fatie a curva · fatias mais finas · velocidade vira distância · o acumulado ao vivo · derivar o acumulado · a pilha de moedas ### Aula 21 — A curva normal ♻️ - Combinações e o triângulo de Pascal (reencontro com a contagem da Aula 6) - A máquina de Galton: somar muitos acasos pequenos dá o sino - A fórmula do sino: `e`, π e o expoente negativo (Aulas 11, 14) - Área = chance (integral, Aula 20); a regra 68–95–99,7 - Onde a normal **não** vale: caudas gordas **Laboratórios:** o triângulo de Pascal · a máquina de Galton · o sino ajustável · área = chance · padronizar (z) · caudas gordas × sino ### Aula 22 — Correlação: estatística com vetores ♻️ Atual Aula 10 sem a seção de média e desvio (que foi para a Aula 5): a lista como vetor, o ângulo entre duas listas, a correlação como cosseno, a escala que não muda a correlação, correlação não é causa. ### Aula 23 — Projeção e mínimos quadrados ✅ Atual Aula 11: projetar é jogar sombra, a reta que melhor se ajusta, por que o quadrado dos erros. ### Aula 24 — Decomposição de sinais: Fourier ♻️ Atual Aula 12 (espectro, projeção sobre cada onda, voltas completas) mais **as ondas como giros** vindas da atual Aula 18: a soma de setas girando `e^(iωt)` é a forma de verdade da série de Fourier. --- ## Nível 5 — Pesquisador: Matemática Aplicada e Computacional *Faculdade · trilha: equações diferenciais, probabilidade avançada e processos estocásticos, análise numérica, otimização; e o que a trilha não tem — lógica e demonstração.* Todas as aulas são novas. Cada uma junta ferramentas de vários níveis para modelar algo que muda, que é incerto ou que precisa ser calculado por um computador — e a última mostra como um matemático tem certeza de que algo é verdade. | # | Aula | Estado | Reencontra | |---|---|---|---| | 25 | Matrizes que transformam: determinante, inversa e autovalores | 🆕 | 10, 17, 18 | | 26 | PCA: as direções principais dos dados | 🆕 | 22, 23, 25 | | 27 | Otimização: descer a ladeira pelo gradiente | 🆕 | 19, 23 | | 28 | Equações diferenciais e o método de Euler | 🆕 | 14, 16, 19, 20 | | 29 | Acaso no tempo: passeio aleatório e movimento browniano | 🆕 | 6, 21, 28 | | 30 | Pensar como matemático: lógica, demonstração e conjecturas | 🆕 | todas | ### Aula 25 — Matrizes que transformam: determinante, inversa e autovalores 🆕 **O obstáculo:** determinante e autovalor são ensinados como contas; são área e direção. - O determinante é o quanto a matriz estica a **área** (e o sinal diz se ela espelha) - Determinante zero: a matriz achata o plano numa reta — o sistema sem solução única (Aula 10) - A inversa: a transformação que desfaz a outra - Autovetores: as setas que a matriz só estica, sem girar; o autovalor é o quanto - A rotação não tem autovetor real — seus autovalores são complexos (Aula 18) **Laboratórios:** o quadrado que vira paralelogramo · achatar o plano · desfazer a transformação · caça às setas que não giram · autovalores ao vivo · a rotação e os complexos ### Aula 26 — PCA: as direções principais dos dados 🆕 **O obstáculo:** dados com muitas colunas parecem impossíveis de visualizar. - A nuvem de pontos e sua "direção mais comprida" (reencontro com a correlação da Aula 22) - Projetar a nuvem numa reta perdendo o mínimo (Aula 23) - A matriz de covariância e seus autovetores (Aula 25) - Quanto da variação cada direção explica - Aplicação: comprimir imagens e resumir muitas variáveis em poucas **Laboratórios:** a nuvem e sua direção · gire a reta de projeção · a variância explicada · os autovetores da covariância · de 2 dimensões para 1 · a imagem comprimida ### Aula 27 — Otimização: descer a ladeira pelo gradiente 🆕 **O obstáculo:** achar o melhor valor quando há muitas variáveis parece impossível de fazer à mão. - A derivada diz para onde a curva desce (Aula 19) - Com duas variáveis: o relevo, as curvas de nível e o gradiente (a seta de subida mais íngreme) - Descer a ladeira passo a passo; o tamanho do passo (pequeno demais × grande demais) - Mínimos locais: o vale que não é o mais fundo - Reencontro com os mínimos quadrados (Aula 23): a mesma reta, achada descendo **Laboratórios:** a bolinha na curva · o mapa de curvas de nível · a seta do gradiente · o tamanho do passo · presos num vale local · ajuste a reta descendo ### Aula 28 — Equações diferenciais e o método de Euler 🆕 **O obstáculo:** equações em que a incógnita é uma função inteira parecem outro planeta. - Quando a regra fala da inclinação: `y′ = k · y` (juros contínuos e decaimento — reencontro com o e) - O campo de direções: setinhas que mostram para onde ir em cada ponto - O método de Euler: andar pequenos passos na direção da seta (reencontro com a integral) - A mola: `y″ = −y` devolve seno e cosseno (reencontro com as ondas) - Erro numérico: passos grandes enganam **Laboratórios:** o campo de setinhas · siga as setas · crescimento e decaimento · a mola que oscila · passo grande × passo pequeno · o predador e a presa ### Aula 29 — Acaso no tempo: passeio aleatório e movimento browniano 🆕 **O obstáculo:** "cálculo estocástico" soa inalcançável; começa com uma moeda. - O passeio aleatório: cada passo é uma moeda (reencontro com a Aula 6) - Depois de n passos, o espalhamento cresce como `√n` (reencontro com a normal da Aula 21) - Passos cada vez menores e mais rápidos: o movimento browniano - Tendência + ruído: `dy = tendência · dt + ruído` (reencontro com Euler da Aula 28) - Aplicações e limites: difusão, preços, e por que o modelo subestima eventos extremos **Laboratórios:** a moeda que anda · mil caminhantes · o leque de caminhos · do passeio ao browniano · tendência + ruído · caudas gordas de novo ### Aula 30 — Pensar como matemático: lógica, demonstração e conjecturas 🆕 **O obstáculo:** ver um fato dar certo em mil exemplos não prova nada — e ninguém ensina o que prova. - Afirmações, "e", "ou", "se... então"; contraexemplo derruba uma regra (reencontro com o patamar de `x³` na Aula 19) - Demonstração direta: a soma de Gauss (Aula 14) - Por absurdo: √2 não é fração (Aulas 2 e 4); os primos nunca acabam (Aula 1) - Por indução: o dominó que derruba todos - Conjecturas: problemas simples que ninguém resolveu (Collatz, primos gêmeos) — o que é pesquisa **Laboratórios:** verdadeiro, falso ou depende? · caça ao contraexemplo · a soma de Gauss · o dominó da indução · tente escrever √2 como fração · a sequência de Collatz --- ## Eletivas Módulos independentes, numerados de 31 a 40, para depois do Nível 5 — ou antes, assim que os pré-requisitos de cada um estiverem feitos. Mesma anatomia de aula (6 laboratórios, 6 exercícios com desafio e Quem faz o quê?, Poder do cérebro, Por que é verdade?, Guru, Cuidado, Não existe pergunta idiota). No curso, aparecem numa aba própria, "Eletivas"; o cabeçalho de cada uma diz "ELETIVA N de 10". | Eletiva | Aula | Pré-requisitos | Área da trilha | |---|---|---|---| | 1. Aritmética do relógio e criptografia RSA | 31 | 1, 4, 14, 30 | Teoria dos números | | 2. Grafos: caminhos, redes e rotas | 32 | 6, 17, 27, 30 | Otimização combinatória e grafos | | 3. Simetrias: o que é um grupo | 33 | 6, 15, 17, 18 | Álgebra abstrata | | 4. Topologia de borracha: Möbius e V − A + F | 34 | 6, 12, 17 | Topologia | | 5. Curvas e superfícies: curvatura | 35 | 11, 15, 17, 19, 20 | Geometria diferencial | | 6. Séries de Taylor: trocar uma curva por potências | 36 | 13, 14, 15, 18, 19 | Análise | | 7. Calor e ondas: equações diferenciais parciais | 37 | 16, 19, 24, 28 | EDP | | 8. Fractais e dimensão | 38 | 12, 14, 17, 18, 23 | Geometria (fractais) | | 9. Cálculo estocástico: a integral do acaso | 39 | 20, 21, 28, 29 | Probabilidade avançada | | 10. Métodos numéricos: Newton, erro e estabilidade | 40 | 13, 19, 27, 28 | Análise numérica | ### Eletiva 1 (Aula 31) — Aritmética do relógio e criptografia RSA ✅ **O obstáculo:** como trocar mensagens secretas com quem você nunca combinou senha nenhuma. - Aritmética modular: somar e multiplicar ficando com o resto - Inverso no relógio existe quando mdc(a, n) = 1 (reencontro com a Aula 1) - Potências andam em ciclos; pequeno teorema de Fermat, com demonstração - Cifra de César e a quebra por frequência de letras - RSA completo: n = p · q, φ, e, d; trancar e abrir - Por que é seguro: multiplicar é fácil, fatorar é difícil **Laboratórios:** o relógio de n horas · a tabuada do relógio · o passeio das potências · cifre e quebre a cifra de César · monte o seu RSA · multiplicar × fatorar ### Eletiva 2 (Aula 32) — Grafos: caminhos, redes e rotas ✅ **O obstáculo:** mapas, redes e rotas parecem problemas sem forma matemática. - Vértices, arestas e grau; soma dos graus = 2 × arestas - Pontes de Königsberg e a regra de Euler dos vértices ímpares (com demonstração) - Matriz de adjacência: Aᵏ conta caminhos (reencontro com a Aula 17) - Caminho mais curto (Dijkstra) e árvore geradora mínima (Kruskal) - Coloração e o teorema das quatro cores **Laboratórios:** as pontes de Königsberg · a casinha sem tirar o lápis · potências da matriz contam caminhos · Dijkstra passo a passo · Kruskal liga as cidades · pinte a roda ### Eletiva 3 (Aula 33) — Simetrias: o que é um grupo ✅ **O obstáculo:** álgebra abstrata parece uma coleção de definições sem desenho. - As 6 simetrias do triângulo (contagem com demonstração) - Composição e a tabela de Cayley; a ordem importa - As quatro regras de grupo e contraexemplos - Grupos cíclicos e geradores (mdc de novo); raízes da unidade (reencontro com a Aula 18) - Rosáceas: grupos cíclico Cₙ e diedral Dₙ **Laboratórios:** gire e espelhe o triângulo · a tabela de Cayley do triângulo · é grupo ou não é? · quem gera o grupo? · as raízes da unidade · monte uma rosácea ### Eletiva 4 (Aula 34) — Topologia de borracha: Möbius e V − A + F ✅ **O obstáculo:** topologia soa abstrata demais; começa com massinha. - Igualdade topológica: esticar sem rasgar nem colar - Fórmula de Euler V − A + F = 2 nos poliedros - O toro como quadrado colado; χ = 0 - Faixa de Möbius: um lado só - Curva de Jordan e a regra da paridade; 3 casas e 3 serviços (demonstração) - Característica de Euler χ = 2 − 2g **Laboratórios:** o alfabeto de borracha · conte V, A e F · V − A + F no toro · a formiga na faixa · o labirinto de Jordan · o gênero e a característica ### Eletiva 5 (Aula 35) — Curvas e superfícies: curvatura ✅ **O obstáculo:** geometria diferencial parece exigir anos de cálculo; começa com um volante. - Círculo osculador e κ = 1/R - Curvatura com sinal ao longo de uma pista - Teorema da rotação das tangentes: 360° - Curvaturas principais e curvatura de Gauss - Triângulos esféricos e o excesso angular - Por que todo mapa-múndi distorce (demonstração); a projeção de Mercator **Laboratórios:** o círculo que beija a curva · o volante na pista · quanto a direção girou? · monte a superfície · o triângulo polo–equador · o círculo que incha no mapa ### Eletiva 6 (Aula 36) — Séries de Taylor: trocar uma curva por potências ✅ **O obstáculo:** não se sabe como uma calculadora acha seno ou eˣ. - Polinômio de Taylor e o k! (com demonstração) - Séries de eˣ, sen x e do número e - Série geométrica e raio de convergência - Mudança de centro (ln x) - e^(ix) = cos x + i sen x pelas séries **Laboratórios:** imitando eˣ · polinômios que ondulam · somando 1/k! · converge ou explode? · o logaritmo em volta de a · a espiral de Euler ### Eletiva 7 (Aula 37) — Calor e ondas: equações diferenciais parciais ✅ **O obstáculo:** equações com derivadas em várias variáveis parecem inalcançáveis. - Equação do calor como "média dos vizinhos" (com demonstração) - Estabilidade: r ≤ 1/2 - Solução de Fourier: cada seno decai no seu ritmo - Equação da onda, d'Alembert e reflexões - Modos normais e a série harmônica **Laboratórios:** a barra que esfria · estável ou instável? · cada seno encolhe no seu ritmo · belisque a corda · o pulso que se divide · os modos normais ### Eletiva 8 (Aula 38) — Fractais e dimensão ✅ **O obstáculo:** formas "irregulares" como litorais parecem fora do alcance da geometria. - Floco de Koch: perímetro infinito, área finita (com demonstração) - Jogo do caos e o triângulo de Sierpinski - Dimensão de autossemelhança D = log N / log(1/r) - Contagem de caixas e a reta log-log (reencontro com a Aula 23) - Conjunto de Mandelbrot e órbitas de z² + c **Laboratórios:** o floco de neve de Koch · o jogo do caos · calcule a dimensão · contagem de caixas na curva de Koch · o conjunto de Mandelbrot · siga a órbita de c ### Eletiva 9 (Aula 39) — Cálculo estocástico: a integral do acaso ✅ **O obstáculo:** o browniano não tem derivada; como fazer cálculo com ele? - Integral de Itô: avaliar no começo do passo - Variação quadrática: (dW)² = dt (com demonstração) - Lema de Itô: d(W²) = 2W dW + dt - Movimento browniano geométrico: média × mediana - Monte Carlo e o preço de uma opção (Black–Scholes), com os limites do modelo **Laboratórios:** soma pela esquerda × soma pela direita · somando os quadrados dos passos · conferindo o lema de Itô · preços simulados · 4.000 futuros de um ano · Monte Carlo × Black–Scholes ### Eletiva 10 (Aula 40) — Métodos numéricos: Newton, erro e estabilidade ✅ **O obstáculo:** o computador não "resolve" equações: chuta, corrige e erra. - Bisseção e método de Newton; convergência quadrática (com demonstração) - Onde Newton falha: ciclos e tangentes deitadas - Arredondamento de ponto flutuante e o h ótimo da derivada numérica - Cancelamento catastrófico e fórmulas estáveis - Euler explícito × implícito: estabilidade **Laboratórios:** a bisseção acha √2 · siga a tangente · onde Newton se perde · o h ótimo da derivada · duas fórmulas para a mesma raiz · o passo que explode --- ## Cobertura da trilha de referência Cada tópico da [trilha](trilha_de_aprendizado_em_matemativa.md) e onde ele é ensinado aqui. | Nível da trilha | Tópico | Aulas | |---|---|---| | 1 | Frações e decimais | 2 | | 1 | Múltiplos e divisores (MMC, MDC) | 1 | | 1 | Potenciação e radiciação (quadrada, cúbica) | 4 | | 1 | Razão, proporção, porcentagem, regra de três simples e composta | 3 | | 2 | Expressões algébricas | 7, 8 | | 2 | Equações de 1º e 2º grau (Bhaskara) e inequações | 8, 13 | | 2 | Sistemas lineares | 10, 17 | | 2 | Geometria plana: ângulos, perímetros, áreas, círculo, Pitágoras | 11, 12 | | 2 | Estatística básica: média, mediana, moda, desvio | 5 | | 3 | PA e PG | 14 (e 9) | | 3 | Juros simples e compostos | 3, 14 | | 3 | Funções: retas e parábolas | 7, 9, 13 | | 3 | Trigonometria: seno, cosseno, tangente, triângulo retângulo, ciclo | 11, 15 | | 3 | Exponenciais e logaritmos | 14 | | 3 | Polinômios de grau maior que 2 e números complexos | 13, 18 | | 3 | Geometria espacial (volumes) e analítica | 12, 17, 20 | | 3 | Combinatória (arranjos, permutações) e probabilidade | 6, 21 | | 4 | Limites e continuidade | 19 | | 4 | Derivadas | 19 | | 4 | Integrais (áreas e volumes) | 20 | | 4 | Álgebra linear: matrizes, transformações, sistemas | 17, 25 | | 5 | Equações diferenciais ordinárias e parciais | 28; eletiva de EDP | | 5 | Álgebra abstrata e teoria dos números | 1, 30; eletivas de grupos e de criptografia | | 5 | Cálculo estocástico e probabilidade avançada | 21, 29; eletiva de cálculo estocástico | | 5 | Análise numérica | 28; eletiva de métodos numéricos | | 5 | Geometria diferencial e topologia | eletivas de curvatura e de topologia | | 5 | Otimização combinatória e grafos | 27; eletiva de grafos | | — | *Fora da trilha:* lógica e demonstração | 30 | | — | *Fora da trilha:* estatística de dados (correlação, regressão, PCA, Fourier) | 22, 23, 24, 26 | --- ## Pré-requisitos: onde cada peça é apresentada Tabela de controle da regra "nada é usado antes de ser apresentado". Toda aula nova ou adaptada é conferida contra ela. | Peça | Apresentada na aula | Usada depois em | |---|---|---| | Múltiplos, primos, MMC | 1 | 2, 30 | | Frações, decimais | 2 | todas | | Números negativos e regra de sinais | 2 | 4, 5, 8, 9 | | Porcentagem, razão, regra de três | 3 | 5, 6, 14, 21 | | Potências, raízes, notação científica | 4 | 5, 12, 14 | | Média e desvio padrão | 5 | 13, 21, 22 | | Contagem, fatorial, probabilidade | 6 | 21, 29 | | Variável, expressão algébrica, função | 7 | todas | | Balança, abrir parênteses, inequações | 8 | 10, 13, 18 | | Plano cartesiano, reta, passo da escada | 9 | 10, 13, 14, 15, 19 | | Ângulo, π, comprimento e área do círculo | 11 | 15, 21 | | Área do triângulo, Pitágoras, volume | 12 | 15, 17, 20 | | Parábola, transformações `a(x − h)² + k` | 13 | 16, 18, 19 | | PA, PG, expoente negativo/fracionário, log, e | 14 | 19, 21, 28, 30 | | Seno, cosseno, tangente, radianos | 15 | 16, 17, 19, 22 | | Vetor, produto escalar, matriz | 17 | 22, 23, 25 | | Número complexo, Euler | 18 | 24, 25 | | Limite, derivada | 19 | 20, 27, 28 | | Integral | 20 | 21, 28 | --- ## Migração das 18 aulas publicadas | Atual | Nova | Estado | O que muda | |---|---|---|---| | 1 O que é uma função | 7 | ♻️ | expressões algébricas; Equação × Função | | 2 Desenhar números no papel | 9 | ✅ | reencontro com PA | | 3 Ângulos e o círculo | 11 | ♻️ | ganha π, perímetro e área do círculo | | 4 Seno e cosseno | 15 | ♻️ | ganha tangente, triângulo retângulo e radianos | | 5 Ondas | 16 | ✅ | reencontro das transformações passa a apontar para a 13 | | 6 Setas e tabelas de números | 17 | ♻️ | ganha tamanho da seta, distância, circunferência e sistema como matriz | | 7 Equações: a balança | 8 | ♻️ | ganha abrir parênteses e inequações | | 8 Sistemas de equações | 10 | ✅ | só referências | | 9 Potências, raízes e Pitágoras | 4 + 12 + 17 | ♻️ | dividida: potências/raízes (4), Pitágoras (12), tamanho da seta (17) | | 10 Estatística com vetores | 5 + 22 | ♻️ | dividida: média e desvio (5), correlação (22) | | 11 Projeção e mínimos quadrados | 23 | ✅ | só referências | | 12 Decomposição de sinais | 24 | ♻️ | ganha as ondas como giros | | 13 Curvas que não são retas | 13 | ♻️ | apresenta as transformações; abrir parênteses vai para a 8 | | 14 Crescimento que acelera | 14 | ♻️ | ganha PA, PG e juros simples | | 15 A inclinação em cada ponto | 19 | ♻️ | perde radianos (→ 15), ganha continuidade | | 16 Somando fatias | 20 | ♻️ | ganha volumes por fatias | | 17 Acaso com régua | 6 + 21 | ♻️ | dividida: contagem e chance (6), curva normal (21) | | 18 Girar multiplicando | 18 | ♻️ | ondas como giros → 24; ganha as raízes que faltavam | **Detalhes técnicos da migração:** - **Pastas e endereços:** cada aula ganha a pasta com o número novo (`aulas/07-letras-no-lugar-de-numeros/` etc.). A SPA passa a aceitar os endereços antigos (`#/aula/`) e redireciona para os novos, para não quebrar links compartilhados. - **Progresso salvo:** o `progresso.js` ganha um mapa slug antigo → slug novo e converte, uma vez, o `localStorage` do aluno. Em aulas divididas, os exercícios que continuam iguais mantêm o selo; os novos começam em branco. - **Numeração:** "AULA N de 30 · NÍVEL X" em todas; `catalogo.js` com os 5 níveis. - **Testes:** `tests/verifica.js` passa a conferir também que toda aula tem Guru, Não existe pergunta idiota, Cuidado e Pontos importantes. **Fases** (testes verdes antes de cada merge): 1. ✅ **Plano** — este documento. 2. ✅ **Reorganização** — renumerar, migrar pastas e progresso, dividir 9, 10 e 17, mover π, radianos, parênteses e Fourier, reescrever "Você já sabe" e reencontros. Ao fim, as 18 aulas atuais estão no lugar novo e o curso continua completo. 3. ✅ **Nível 1** — Aulas 1, 2 e 3 (novas) e a ampliação das 4, 5 e 6. 4. ✅ **Nível 2** — ampliações das 7, 8, 11 e 12. 5. ✅ **Níveis 3 e 4** — ampliações (tangente, PA/PG, continuidade, Pascal, volumes...). 6. ✅ **Nível 5** — Aulas 25 a 30. 7. ✅ **Peças novas** — Poder do cérebro, Por que é verdade?, Conversa ao pé da lareira e o exercício Quem faz o quê? (onde cada uma entra: tabela da metodologia). 8. ✅ **Eletivas** — as 10, numeradas de 31 a 40, com aba própria no curso. 9. ⏳ **Testes unitários em todas as aulas** — próxima etapa; plano detalhado logo abaixo. --- ## Revisão de qualidade dos laboratórios e exercícios ✅ Auditoria das 40 aulas com rubrica (laboratório com controle próprio, retorno, previsão; exercícios com 4 alternativas explicadas, contas e desafio de verdade). Resultado, método e o que mudou em [`QUALIDADE.md`](QUALIDADE.md): 5 laboratórios passivos viraram "preveja e confira", o espectro da Aula 24 virou equalizador, a onda ao vivo da Aula 16 ganhou boia e segundo controle, todas as múltiplas escolhas passaram a 4 alternativas e 15 exercícios de memória viraram conta. O `tests/verifica.js` passou a exigir 4 alternativas com explicação em cada erro e a rodar um aluno simulado nos laboratórios "preveja e confira". Segunda rodada: mínimo de 3 contas em todas as aulas (17, 23, 24), teclado em todas as alças arrastáveis (helper `arrasta()` + 09, 17, 23; checado pelo `verifica.js`) e blocos "Agora é você" de preveja e confira dentro dos laboratórios das aulas 04 (raiz na mão), 12 (Pitágoras) e 20 (somar as fatias). Terceira rodada (análise lúdica): rubrica de Malone & Lepper (desafio, curiosidade, controle, fantasia) + rejogabilidade + Bloom, aplicada às 40 aulas a partir de um playtest automático (`tests/playtest.js`). Nota média 4,3/10: labs inteligentes e com ótimo controle, mas poucos com meta, aposta ou sorteio, e só 18% dos exercícios situados. Nota por aula, os defeitos corrigidos e a proposta para levar todas à excelência em [`QUALIDADE.md`](QUALIDADE.md). ## Fase 9 — testes unitários em todas as aulas **Por quê.** O `tests/verifica.js` é um teste de ponta a ponta: abre cada aula num navegador e confere que nada quebra (texto `NaN`, erro de JavaScript, gabarito aceito, resposta errada recusada, links, celular). Ele **não** confere se a matemática mostrada está certa. Um laboratório pode exibir um número errado, uma fórmula pode ter o sinal trocado, e a suíte continua verde. Exemplo real, pego na revisão visual da Eletiva 9: uma variável da aula (`NS`) sobrescreveu o namespace SVG do código comum e **todos** os gráficos ficaram invisíveis, com os testes passando. (Esse caso específico já virou uma checagem no `verifica.js`; a fase 9 cobre a classe inteira de erros "roda, mas calcula errado".) **Como (sem quebrar "cada aula é um arquivo que funciona offline").** 1. **Separar a matemática do desenho.** As funções puras hoje repetidas dentro das aulas passam a morar em módulos compartilhados em `assets/matematica/`, carregados por `